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微積分前置知識3——微分相關重要公式

基本関数の導関数:

  1. $$(C)'=0$$
  2. $$ (x^n)'=nx^{n-1}$$
  3. $$(\sin x)'=\cos x$$
  4. $$(\cos x)'=-\sin x$$
  5. $$(\tan x)'=\sec^2 x$$
  6. $$(\cot x)'=-\csc^2 x$$
  7. $$(a^x)'=a^x \ln a$$
  8. $$(e^x)'=e^x$$
  9. $$(ln|x|)'=\frac{1}{x}$$
  10. $$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
  11. $$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
  12. $$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$
  13. $${\color{aqua} (\arccot x )'=-\frac{1}{1+x^2}}$$
  14. $${\color{aqua} (\sec x)'=\sec x\tan x}$$
  15. $${\color{aqua} (\csc x)'=-\csc x\cot x}$$
  16. $${\color{aqua} (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\;\; (a>0, a≠1)}$$

 

導関数の四則演算:

関数\(f(x), g(x)\)が微分可能なとき、次式が成り立つ。

  • $$[kf(x)]'=kf'(x)$$
  • $$[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)$$
  • $$[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
  • $$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$

 

合成関数の微分:

関数\(y=f(u), u=g(x)\)が共に微分可能な時、合成関数\(y=f[g(x)]\)も微分可能で、

$$\frac{{\rm {d}}  y}{{\rm {d}} x}=f'(u) \cdot g'(x)$$

あるいは

$$\frac{{\rm {d}}  y}{{\rm {d}} x}=\frac{{\rm {d}}  y}{{\rm {d}} u} \frac{{\rm {d}}  u}{{\rm {d}} x}$$

が成り立つ。

 

陰関数の微分:

方程式\(F(x,y)=0\)より、\(x\)の関数\(y\)が定まる。この関数を\(x\)の陰関数という。

両辺に\(x\)で微分をとって

$$\frac{\rm {d}}{{\rm {d}}x} F(x,y)=0$$

となり、整理して\(\frac{{\rm{d}}y}{{\rm{d}}x}\)が求まる。

隱函數和顯函數是相對的,顯函數是直接有y關於x的表達式,而隱函數沒有,有的只是類似于\(x^2+y^2=1\)的表達式。

 

次の関数を微分せよ:

 

(1)\(f(x)=e^{2x}\)

[解答]

ここで、\(y=e^u, u=2x\) とおくと、

$$\frac{{\rm {d}} y}{{\rm {d}} u}=e^u$$

$$\frac{{\rm {d}} u}{{\rm {d}} x}=2$$

より、

$$f'(x)=\frac{{\rm d} y}{{\rm d}x}=\frac{{\rm {d}} y}{{\rm {d}} u} \cdot \frac{{\rm {d}} u}{{\rm {d}} x}=e^u \cdot 2=2e^{2x}$$

 

(2)\(g(x)=x^x\)

[解答]

\(y=x^x\)とおき、両辺に\(ln\)を取ると、

$$\ln y=x \ln x$$

となる。次に、両辺に\(x\)で微分をとって、

$$\frac{1}{y} \cdot y'=\ln x +1$$

注意,這裏就是合成函數的微分,左邊對y求導之後,又對x求導(對x求導就直接是y',這一點不用討論,記住就行)。

整理して、

$$g'(x)=y'=y(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$$

 

次の\(x\)の関数\(y\)を微分せよ:

 

(1)\(\sqrt x+\sqrt y=1\)

[解答]

両辺に\(x\)で微分をとって、

$$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{ {\rm d} y} {{\rm d} x}=0$$

よって、

$$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=-\sqrt{\frac{y}{x}}$$

となる。

 

(2)\(xy+\tan y=1 \)

[解答]

両辺に\(x\)で微分をとって、

$$y+xy'+\sec^2 y \cdot y'=0$$

よって、

$$y'=-\frac{y}{x+\sec^2 y}$$

となる。

 

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This article was last edited at 2021-08-21 13:18:48

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